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最短路径

来自"NOCOW"

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[编辑] 介绍

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。
确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。

注：以下的Dijkstra和Bellman-Ford算法中都使用了松弛操作。

[编辑] 常用算法简介

最常用的路径算法有：

[编辑] Dijkstra算法

详细介绍
Dijkstra复杂度是O(N^2)，如果用binary heap优化可以达到O((E+N)logN)，用fibonacci heap可以优化到O(NlogN+E)
其基本思想是采用贪心法，对于每个节点v[i]，维护估计最短路长度最大值，每次取出一个使得该估计值最小的t，并采用与t相连的边对其余点的估计值进行更新，更新后不再考虑t。
在此过程中，估计值单调递减，所以可以得到确切的最短路。

Dijkstra 程序：

void Dijkstra(){
     for(int i=1;i<=n;i++)
      dis[i] = map[1][i];
 
     int k;
     for(int i=1;i<n;i++){
      int tmin = maxint;
      for(int j=1;j<=n;j++)
       if( !used[j] && tmin > dis[j] ){
        tmin = dis[j];
        k = j;    
       } 
      used[k] = 1;
      for(int j=1;j<=n;j++)
       if( dis[k] + map[k][j] < dis[j] ) 
        dis[j] = dis[k] + map[k][j];
     }
     printf("%d",dis[n]);
}
 
/* 求1到N的最短路,dis[i] 表示第i个点到第一个点的最短路 By Ping*/

[编辑] Floyd-Warshall算法

详细介绍
Floyd是计算每对点间最短路径（APSP)的经典算法。
时间复杂度是雷打不动的O(n^3)

for(int k=1;k<=n;k++)
 for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=n;j++){
   if( map[i][k] != maxint && map[k][j] != maxint )
    if( map[i][k] + map[k][j] < map[i][j] )
     map[i][j] = map[i][k] + map[k][j];
  }
 
/* maxint 为极大值 表示不连通  By Ping ^.^ */

[编辑] Bellman-Ford算法

详细介绍
Bellman-Ford主要是用于负权图。Bellman-Ford算法即标号修正算法。
实践中常用到的方法通常是FIFO标号修正算法和一般标号修正算法的Dequeue实现。
前者最坏时间复杂度是O(nm), 是解决任意边权的单源最短路经问题的最优强多项式算法。
也可以用这个算法判断是否存在负权回路.

SPFA算法

SPFA就是bellmanford的一种实现方式。
SPFA算法就是上面说的FIFO标号修正算法, 请参见《网络流：理论、算法与应用》。

SPFA程序：

void spfa()
{
     int t,p;
     queue[cl] = 1;
     while( cl < op ){
      int p = queue[cl++];
      for(t=head[p][0]; t!=0; t=list[t].next ){
       if( way[p] != maxint && way[p] + list[t].w < way[list[t].r] ){
        way[list[t].r] = way[p] + list[t].w;
        queue[op++] = list[t].r;
       }
      }
     }
     printf("%d",way[n]);
}
 
 
/* queue为优先队列,链表存图(list) by Ping ^.^ */